ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΤΟΥ ΖΗΝΩΝΟΣ – ΘΕΟΔΟΣΗΣ ΠΕΛΕΓΡΙΝΗΣ

Ο Αριστοτέλης παρέθεσε τέσσερα επιχειρήματα, με τα οποία ο Ζήνων Ελεάτης επιδίωξε να ανασκευάσει την καθιερωμένη άποψη για την κίνηση, θεωρώντας ότι η εικόνα την οποία έχομε για την κίνηση των όντων – ότι ορισμένως, είναι δυνατόν ένα ον να μετακινηθεί από ένα σημείο στο χώρο σε κάποιο άλλο σημείο ή ότι ένα ον μπορεί να κινηθεί ταχύτερα από κάποιο άλλο ον – δεν ισχύει στην πραγματικότητα και ότι, ως εκ τούτου, η αντίληψη που έχομε για την κίνηση δεν είναι παρά μια ψευδαίσθηση. Τα τέσσερα αυτά επιχειρήματα ή παράδοξα του Ζήνωνος, όπως έχει καθιερωθεί να λέγονται, είναι: το στάδιο ή η διχοτομία, ο Αχιλλεύς, το βέλος και τα κινούμενα ίσα σώματα. Ας υποθέσομε, σύμφωνα με το παράδοξο του σταδίου ή της διχοτομίας, ότι ένας δρομέας ξεκινάει για να φθάσει στο τέλος της διαδρομής του. Τούτο, όμως, λογικά δεν θα μπορέσει να το επιτύχει ποτέ. Διότι: για να διατρέξει την εν λόγω απόσταση, πρέπει προηγουμένως να περάσει από το μέσο της, να διατρέξει δηλαδή το ½ της συνολικής απόστασης. Για να φθάσει, όμως, στο ½ της συνολικής απόστασης που θέλει να διατρέξει, θα πρέπει να περάσει από το ½ του ημίσεος, ήτοι να διατρέξει το ¼ της συνολικής απόστασης. Αλλά για να διατρέξει το ¼, θα πρέπει προηγουμένως να διατρέξει το 1/8 της συνολικής απόστασης, και πριν από το 1/8 θα πρέπει να διατρέξει το 1/16, και πριν από το 1/16 να διατρέξει το 1/32, κ.ο.κ, επ' άπειρον, δεδομένου ότι μια απόσταση και, γενικότερα, ο χώρος, κατά τον Ζήνωνα, μπορεί να διαιρείται συνεχώς, χωρίς τελειωμό. Μπορούμε να φανταστούμε το δρομέα σε μια κατάσταση συνεχούς ετοιμότητας, όπου, κάθε φορά που πάει να διατρέξει ένα τμήμα της απόστασης, αναστέλλει την απόφασή του να διατρέξει το τμήμα αυτό μπροστά στην ιδέα ότι προηγουμένως θα πρέπει να διατρέξει το ήμισυ του τμήματος αυτού κ.ο.κ.. Ας υποθέσομε, σύμφωνα με το καλούμενο παράδοξο του Αχιλλέως, ότι ο ταχύπους Αχιλλεύς και μια χελώνα, το πιο βραδυκίνητο ζώο, συμφωνούν να τρέξουν σε αγώνα δρόμου υπό την προϋπόθεση ότι δεν θα ξεκινήσουν από το ίδιο σημείο, αλλά ότι η χελώνα θα προηγηθεί του Αχιλλέα. Όλοι έχομε τη βεβαιότητα ότι νικητής του αγώνα αυτού θα είναι ο Αχιλλέας. Λογικά, όμως, κατά το Ζήνωνα, δεν θα συμβεί αυτό. Είναι αδύνατον να ξεπεράσει ο Αχιλλέας τη χελώνα εφόσον: πρώτον, η απόσταση χωρίζεται σε τμήματα και δεύτερον, δεν μπορεί να διατρέξει κανείς ένα τμήμα χωρίς να διατρέξει το αμέσως προηγούμενό του τμήμα. Μπορούμε να φανταστούμε, περαιτέρω, ότι η απόσταση που έχουν συμφωνήσει να διατρέξουν ο Αχιλλέας και η χελώνα χωρίζεται στα τμήματα α, β, γ, δ, ε, … ω και ότι για την κάλυψη του κάθε τμήματος απαιτείται ένας ορισμένος χρόνος – χ^1, χ^2, χ^3 …. Ας υποθέσομε, λοιπόν, ότι, ξεκινώντας τον αγώνα δρόμου, κατά το χρόνο χ ο Αχιλλέας βρίσκεται στο τμήμα α και η χελώνα στο τμήμα β. Κατά το χρόνο χ^1 η χελώνα θα έχει μετακινηθεί στο τμήμα γ και ο Αχιλλέας στο τμήμα β, κατά το χρόνο χ^2 η χελώνα θα έχει μετατοπιστεί στο τμήμα δ και ο Αχιλλέας στο τμήμα γ. Έτσι, σε κάθε χρονικό διάστημα, που θα διαρρέει, ο μεν Αχιλλέας θα καλύπτει το διάστημα στο οποίο βρίσκεται η χελώνα, η δε χελώνα θα έχει ήδη μετακινηθεί στο επόμενο τμήμα. Εν τοιαύτη περιπτώσει, ο αγώνας δρόμου θα λήξει με προπορευόμενη πάντοτε τη χελώνα. Ας υποθέσουμε σύμφωνα με το παράδοξο του βέλους, έναν τοξότη ο οποίος ρίχνει με το τόξο του ένα βέλος. Καθένας μας έχει την εντύπωση ότι το βέλος, διαγράφοντας την τροχιά του στον αέρα, κινείται. Είναι γεγονός, όμως, ότι το βέλος έχει ένα ορισμένο μήκος και καταλαμβάνει ορισμένη έκταση στο χώρο ανάλογη προς το μήκος του και, ως εκ τούτου, εν αντιθέσει προς την εντύπωση που έχομε όλοι μας, δεν κινείται. Ας υποθέσομε, τέλος, σύμφωνα με το παράδοξο των κινούμενων ίσων σωμάτων,ότι έχομε τρεις ίσων διαστάσεων κύβους, των οποίων η κάθε πλευρά έχει μήκος μ, και ότι ο ένας κύβος βρίσκεται κάτω από τον άλλο σε ευθεία γραμμή. Ο κύβος Β μένει σταθερά ακίνητος. Ο κύβος Α κινείται προς τα δεξιά του Β καλύπτοντας την ίδια απόσταση μ σε ίσο χρόνο χ. Μπορούμε, τότε, να σκεφθούμε ότι σε σχέση με τον κύβο Γ ο κύβος Α κάλυψε την απόσταση μ σε διπλάσιο χρόνο χ από όσο χρειάστηκε να καλύψει την ίδια απόσταση σε σχέση με τον κύβο Β. Έτσι, παρουσιάζεται το παράδοξο ένας δεδομένος χρόνος να ισούται με το διπλάσιό του χρόνο.

ΘΕΟΔΟΣΗΣ ΠΕΛΕΓΡΙΝΗΣ

ΛΕΞΙΚΟ ΤΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΓΡΑΜΜΑΤΑ 2004