Οι βάσεις των Πυθαγορείων Μαθηματικών ήταν οι εξής: Η πρώτη φυσική διάκριση των Αριθμών είναι σε ΜΟΝΟΥΣ και σε ΖΥΓΟΥΣ. Οι ζυγοί αριθμοί είναι εκείνοι που μπορούν να διαιρεθούν σε δύο ίσα μέρη, χωρίς να αφήσουν τη μονάδα σαν υπόλοιπο. Οι μονοί αριθμοί, όταν χωριστούν σε δύο ίσα μέρη, αφήνουν και μια μονάδα σαν υπόλοιπο.
Επίσης όλοι οι ζυγοί αριθμοί (εκτός από τη δυάδα, το δύο, που είναι απλώς δύο μονάδες) μπορούν να χωριστούν σε δύο ίσα μέρη καθώς και σε δύο άνισα μέρη, αλλά και στις δύο αυτές περιπτώσεις δεν παρουσιάζονται οι άρτιοι μαζί με τους περιττούς αριθμούς, ή οι περιττοί μαζί με τους άρτιους. Ο δυαδικός αριθμός δύο δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο άνισα μέρη.
Έτσι το 10 χωρίζεται σε 5 και 5, που είναι δύο ίσα μέρη, καθώς και σε 3 και 7, που είναι περιττοί, και σε 6 και 4, που είναι άρτιοι αριθμοί. Το 8 χωρίζεται σε 4 και 4, που είναι δυο ίσοι και άρτιοι αριθμοί και σε 5 και 3 που είναι περιττοί.
Αλλά ο μονός αριθμός χωρίζεται μόνο σε δύο άνισα μέρη και το ένα μέρος είναι ένας περιττός αριθμός και το άλλο ένας άρτιος αριθμός. Έτσι το 7 χωρίζεται σε 4 και 3, ή σε 5 και 2, που και στις δύο περιπτώσεις είναι άνισοι αριθμοί, ένας μονός και ένας ζυγός.
Οι αρχαίοι παρατήρησαν επίσης ότι η μονάδα είναι “μονός” αριθμός και ότι είναι ο πρώτος “μονός αριθμός”, γιατί δεν μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσους αριθμούς. Μια άλλη ιδιομορφία που παρατήρησαν ήταν ότι η μονάδα, προστιθέμενη σε ένα ζυγό αριθμό τον καθιστούσε μονό, αλλά αν οι ζυγοί προσθέτονταν σε ζυγούς αριθμούς μας έδιδαν πάλι ζυγούς αριθμούς.
Ο Αριστοτέλης στην Πυθαγορική πραγματεία του παρατηρεί ότι η μονάδα μετέχει και της φύσης του ζυγού αριθμού, γιατί όταν προστίθεται σε ένα ζυγό αριθμό μας κάνει ένα ζυγό, και όταν προστίθεται σε ένα ζυγό σχηματίζεται ένας μονός αριθμός. Έτσι ονομάζεται “αρτιόμορφος μονός”. Ο Αρχύτας από τον Τάραντα ήταν της ίδιας γνώμης.
Εκτός αυτού η Μονάδα είναι η πρώτη ιδέα του περιττού αριθμού. Κατά τον ίδιο τρόπο οι Πυθαγόρειοι θεωτούν το “δύο” σαν την “πρώτη ιδέα της απροσδιόριστης δυάδας” και αποδίδουν τον αριθμό 2 σε κείνη την απροσδιόριστη, άγνωστη και απεριόριστη όψη στον κόσμο, ακριβώς όπως συσχετίζουν τη μονάδα με καθετί που είναι καθορισμένο και κανονικό. Σημείωσαν ακόμα ότι στη σειρά των αριθμών, που αρχίζουν απο τη μονάδα, οι αριθμοί αυξάνονται κάθε φορά με την προσθήκη μιας μονάδας και έτσι ο λόγος μεταξύ τους μειώνεται. Έτσι το 2 είανι 1+1, ή το διπλό του προκατόχου του. Το 3 δεν είναι διπλό 2, αλλά δύο και μια μονάδα, τρία δεύτερα. Το 4 σε σχέση με το 3 είναι 3 και μια μονάδα, και ο λόγος είναι τέσσερα τρίτα. Τα έξι πέμπτα, 6 προς 5 είναι μικρότερο από τον προηγούμενο, δηλαδή τα πέντε τέταρτα ή 5 προς 4, και το ίδιο συνεχίζεται σε όλη τη σειρά των αριθμών.
Σημείωσαν επίσης ότι στη φυσική σειρά αριθμών κάθε αριθμός είναι το μισό του αθροίσματος των αριθμών κάθε αριθμός είναι το μισό του αθροίσματος των αριθμών που τον περιστοιχίζουν. Έτσι το 5 είναι το μισό του 6 συν 4. Επίσης είναι το μισό του αθροίσματος του επομένου ζευγαριού αριθμών, π.χ. το 5 είναι το μισό του 7 συν 3 κι αυτό συνεχίζεται μέχρι που φτάνουμε στο σημείο όπου ο ένας αριθμός του ζευγαριού να είναι η μονάδα. Η ίδια η μονάδα δεν περιστοιχίζεται από δύο αριθμούς, τον ένα πάνω και τον άλλο κάτω από αυτή. Έχει αριθμό μόνο πάνω απο αυτή. Έτσι ονομάζεται “πηγή κάθε πλήθους”.
Η φράση “αρτιόμορφος ζυγός” είναι ένας άλλος όρος που χρησιμοποιόταν στην αρχαιότητα για ένα είδος ζυγών αριθμών. Είναι εκείνοι που διαιρούνται σε δύο ίσα μέρη και κάθε ένα από αυτά τα μέρη διαιρείται ομοιόμορφα και η ομοιόμορφη διαίρεση συνεχίζεται μέχρι που φτάνουμε στη μονάδα. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το 64. Αυτοί οι αριθμοί αποτελούν μια σειρά, αρχίζοντας από τη μονάδα και σχηματίζοντας κάθε φορά ένα λόγο “δύο” μεταξύ τους, όπως 1, 2, 4, 8, 16, 32. Ο όρος “αρτιόμορφος μονός”, αναφερόμενος σε ένα ζυγό αριθμό, όπως 6, 10, 14, 18, που όταν διαιρεθούν σε δύο ίσα μέρη, αυτά τα μέρη δεν μπορούν να διαιρεθούν ξανά σε ίσα μέρη. Μπορεί να σχηματισθεί μια σειρά τέτοιων αριθμών μιας σειράς από μονούς αριθμούς:
Οι 1, 3, 5, 7, 9, μας δίνουν τους 2, 6, 10, 14, 18.
Οι μη αρτιόμορφοι ζυγοί αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε δύο μέρη, κι αυτά τα μέρη να χωριστούν ξανά εξίσου, αλλά δεν μπορεί να συνεχιστεί αυτό μέχρι να φτάσουμε στη μονάδα. Τέτοιοι αριθμοί είναι το 24 και το 28.
Οι μονοί αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν από τρεις απόψεις, ως εξής:
“Πρώτοι και απλοί”. Τέτοιοι αριθμοί είναι οι 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31. Δεν μπορούν να μετρηθούν με άλλους αριθμούς εκτός της μονάδας. Δε συντίθενται από άλλους αριθμούς, αλλά σχηματίζονται μόνο από τη μονάδα.
“Δεύτεροι και σύνθετοι”. Είναι στην πραγματικότητα “μονοί”, αλλά περιέχουν άλλους αριθμούς και συντίθενται απ' αυτούς. Τέτοιοι είναι οι 9, 15, 21, 25, 27, 33 και 39. Αυτοί περιέχουν μέρη που κατονομάζονται με έναν άλλο αριθμό ή λέξη, εκτός από τη βασική μονάδα. Έτσι το ένα τρίτο του εννιά είναι το 3. Το ένα τρίτο του 15 είναι το 5 και το ένα πέμπτο είναι το 3. Έτσι, αφού περιέχει έναν άλλο αριθμό ονομάζεται δεύτερος και αφού είναι επιδεκτικός διαίρεσης ονομάζεται σύνθετος.
Η Τρίτη Ποικιλία μονών αριθμών είναι πιο περίπλοκη, αφού οι αριθμοί της είναι δεύτεροι και σύνθετοι, αλλά στη μεταξύ τους σχέση είναι πρώτοι και απλοί. Τέτοιοι είναι το 9 και το 25. Και οι δυό διαιρούνται και ο καθένας απ' αυτούς είναι δεύτερος και σύνθετος, αλλά δεν έχουν κοινό μέτρο. Έτσι το 3 που διαιρεί το 9, δε διαιρεί το 25.
Οι μονοί αριθμοί ταξινομούνται σ' αυτές τις τρεις κατηγορίες σε Τέλειους, Ελλειπείς και Υπεράφθονους.
Υπερτέλειοι και Υπεράφθονοι είναι τέτοιοι αριθμοί όπως οι 12 και 24.
Ελλειπείς αριθμοί είναι τέτοιοι αριθμοί όπως το 8 και το 14.
Τέλειοι είναι τέτοιοι αριθμοί όπως το 6 και το 28. Είναι ίσοι με το άθροισμα των μερών τους. Ας πάρουμε για παράδειγμα το 28. Το μισό του είναι 14, το ένα τέταρτο είναι 7, το ένα έβδομο είναι 4, το ένα δέκατο τέταρτο είναι 2 και το εικοστό όγδοο είναι , δηλαδή ποσότητες που προστιθέμενες μας δίνουν το 28.
Στους ελλειπείς αριθμούς, όπως είναι το 14, το σύνολο του αριθμού υπερβαίνει τα μέρη του. Το ένα έβδομο του 14 είναι το 2, το μισό του είναι το 7, και το ένα δέκατο τέταρτο είναι 1. Το άθροισμά τους είναι 10, δηλαδή λιγότερο από το 14.
Στους υπεράφθονους αριθμούς, όπως είναι το 12, το άθροισμα των μερών του υπερβαίνει τον ίδιο τον αριθμό. Έτσι το ένα έκτο του 12 είναι το 2, το ένα τέταρτο είναι το 3, το ένα τρίτο είναι το 4, το μισό του είναι το 6 και το ένα δωδέκατο είναι το 1. Το άθροισμά τους είναι 16, δηλαδή μεγαλύτερο από το 12.
Οι Υπερτέλειοι αριθμοί φαίνονταν να μοιάζουν με τον Βριάρεω, το γίγαντα με τα εκατό χέρια. Τα μέρη του είναι πολυάριθμα. Οι Ελλειπείς αριθμοί μοιάζουν με τους Κύκλωπες που είχαν μόνο ένα μάτι, ενώ οι Τέλειοι αριθμοί είχαν την ιδιοσυγκρασία της μετριοπάθειας και αμιλλώνται στην Αρετή. Στέκουν ανάμεσα στην υπερβολή και στην έλλειψη και δεν αντιπροσωπεύουν τον κολοφώνα όπως νόμιζαν μερικοί αρχαίοι.
Το κακό αντιτίθεται πράγματι στο κακό, αλλά και τα δύο αντιτίθενται στο αγαθό. Όμως το αγαθό ποτέ δεν αντιτίθεται στο αγαθό, παρά μόνο σε δύο κακά.
Οι Τέλειοι αριθμοί είναι όπως οι αρετές. Λίγοι σε αριθμό.
Οι άλλες δύο κατηγορίες είναι σαν τα ελαττώματα – πολυάριθμές, ακανόνιστες και ακαθόριστες.
Ανάμεσα στο 1 και στο 10 υπάρχει μόνο ένας τέλειος αριθμός, δηλαδή το 6. κι ανάμεσα στο 10 και στο 100 υπάρχει πάλι ένας, δηλαδή το 28. Ανάμεσα στο 100 και στο 1000 υπάρχει μόνο ένας, δηλαδή το 496 και ανάμεσα στο 1000 και στο 10000 υπάρχει επίσης ένας, δηλαδή ο8128.
Οι μονοί αριθμοί ονομάζονται Γνώμονες, γιατί προστιθέμενοι σε τετράγωνα, τους διατηρούν το ίδιο σχήμα, όπως διαπιστώνουμε στη Γεωμετρία: Βλέπε Σιμπλίκιος, βιβλ. Γ'.
Ένας αριθμός που σχηματίζεται από τον πολλαπλασιασμό ενός μονού και ενός ζυγού αριθμού ονομάζεται Ερμαφρόδιτος ή “αρρενοθήλυς”.
Σχετικά μ' αυτές τις αντιλήψεις για τους αρτιόμορφους και μη αρτιόμορφους, τους καθορισμένους και ακαθόριστους αριθμούς πρέπει να σημειωθεί ότι οι αρχαίοι φιλόσοφοι πίστευαν βαθύτατα στην ένωση των αριθμητικών ιδεών με τη Φύση και με την ουσία, τη φύση ή το βάθος των πραγμάτων.
Γι' αυτούς η φύση του αγαθού ήτνα καθορισμένη, ενώ η φύση του κακού ήταν ακαθόριστη. Όσο πιο ακαθόριστη ήταν η φύση του κακού τόσο χειρότερο ήταν. Μόνο το αγαθό μπορούσε να προσδιορίσει ή να περιορίσει το ακαθόριστο. Στην ανθρώπινη ψυχή υπάρχει ένας πυρήνας θείου αγαθού (Μπούντι). Αυτό δεσμεύει και μετριάζει το ακαθόριστο και το ασταθές των επιθυμιών.
Μπορεί να καταδειχθεί ότι κάθε ανισότητα προκύπτει από μια ισότητα. Έτσι μια μητέρα, ή μια ρίζα, έχει τη δύναμη να φέρει σε γέννηση, με μια μεγάλη ευφορία, όλα τα είδη της ανισότητας. Αν υπήρχε χώρος και χρόνος θα μπορούσε να αποδειχθεί ότι και κάθε ανισότητα μπορεί να αναχθεί σε ισότητα.
Ο Ιάμβλιχος, στην πραγματεία του για την Αριθμητική του Νικόμαχου, ρίχνει ένα διαφορετικό φως στους αριθμούς. Λέει ότι μερικοί είναι σαν φίλοι, ότι είναι Φίλιοι αριθμοί, όπως το 284 και το 220.
Ο Πυθαγόρας ερωτώμενος τι είναι φίλος, αποκρίθηκε έτερος εγώ. Φαίνεται λοιπόν πως αυτό ισχύει και γι' αυτούς τους αριθμούς. Τα μέρη του καθενός σχηματίζουν τον άλλο, σύμφωνα με τη φύση της φιλίας.
Ο Οζανάμ, ένας Γάλλος μαθηματικός έδωσε στα 1710 μ.Χ. παραδείγματα αυτών των Φίλιων αριθμών στο βιβλίο του Μαθηματικές Αναδημιουργίες. Παρατήρησε ότι το 220 είναι ίσο με το άθροισμα των υποπολλαπλασίων (των ακριβών διαιρετών) του 284. Έτσι 1+2+4+71+142=220. Το 284 πάλι είναι ίσο με το άθροισμα των υποπολλαπλασίων του 220. Έτσι έχουμε 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
Ένα άλλο ζευγάρι τέτοιων αριθμών είναι οι 17.296 και 18.416.
Στα γραπτά των φιλοσόφων βρίσκονται διάσπαρτες πολύ περίεργες θεωρίες για τη σχέση ανάμεσα στους Αριθμούς και στο γάμο καθώς και στο χαρακτήρα του απογόνου πουθα προκύψει απ' αυτό το γάμο. Ο Πλάτωνας στην Πολιτεία του έχει ένα χωρίο σχετικά με το γεωμετρικό αριθμό που, παραγόμενος μαντικά, μπορεί να είναι τυχερός ή άτυχος. Ο Νικόμαχος μιλάει επίσης γι' αυτό τον αριθμό και τον ονομάζει Γαμήλιο Αριθμό. Μετά απ' αυτό αναφέρει ότι από δύο καλούς γονείς μόνο καλό παιδί μπορεί να γεννηθεί. Από δύο κακούς γονείς, μόνο κακό. Από έναν καλό και έναν κακό, μόνο κακό. Έτσι προειδοποιεί η Πολιτεία να μη γίνονται γάμοι με τυχαίο ή δυσαρμονικό τρόπο γιατί θα υπάρχει διχόνοια και διαφθορά στους απογόνους.
Ο Σιμπλίκιος, στο σχόλιό του για το Δεύτερο Βιβλίο του Αριστοτέλη Περί των Ουρανών, παρατηρεί ότι ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του είχαν ακούσει τη Μουσική των Σφαιρών, ότι είχαν ακούσει έναν αρμονικό ήχο που παραγόταν από την κίνηση των πλανητών και από τον ήχο υπολόγισαν με αριθμούς το λόγο της απόστασης και το μέγεθος του Ήλιου, της Σελήνης, της Αφροδίτης και του Ερμή. Σ' αυτό ο Αριστοτέλης διαφωνεί, αλλά ίσως η δυσκολία μπορεί να ξεπεραστεί σ' αυτή την υποσεληνιακή σφαίρα όλα τα πράγματα δεν είναι σύμμετρα, ούτε το καθετί γίνεται όμοια αισθητό σε κάθε σώμα. Τα σκυλιά μπορούν να μυρίσουν και να αναγνωρίσουν την παρουσία ζώων που μπορεί να βρίσκονται σε μεγάλη απόσταση, τη στιγμή που ο άνθρωπος έχει πλήρη άγνοια της ύπαρξής τους. Μερικοί από τους αρχαίους πίστευαν ότι η ψυχή έχει τρεις φορές – το γήινο σώμα, φωτεινό και ουράνιο όπου διαμένει η ψυχή όταν βρίσκεται σε κατάσταση μακαριότητας. Αυτό ακριβώς το σώμα, με εξάγνιση των αισθήσεων, με κληρονομική μαγική δύναμη, με χρηστότητα, ή με θρησκευτικές τελετουργείες καθιέρωσης, μπορείν να αντιληφθεί, αφού παραμερίσει το γήινο σώμα, πράγματα ακατάληπτα σε μας και να ακούσει ήχους ανήκουστους σε μας που είμαστε σε δεσμά. Ένας έμπειρος ή διορατικός μπορεί, με ένα μαντήλι κάποως ξεδιπλωμένο και με τα μάτια κλειστά, να δει σκηνές αδιαόρατες για μας τους θνητούς, ενώ την ίδια στιγμή να είναι κουφός σαν κι εμάς στους υπερβατικούς ήχους. Κι αυτό γιατί βλέπουμε τα αστέρια, ενώ δεν ακούμε την κίνησή τους:
Γιατί δεν κατεβαίνουν οι άγγελοι από τα βασίλεια της δόξας
για να επισκεφτούν τη γη, όπως στους παλιούς καιρούς;
Είναι ο ουρανός πιο μακρινός, ή η γη είναι πιο παγωμένη.
ΓΟΥΙΛΙΑΜ ΓΟΥΕΣΚΟΤ
ΑΡΙΘΜΟΣΟΦΙΑ
Η ΑΠΟΚΡΥΦΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΚΑΙ ΟΙ ΜΥΣΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΣΑΚΑΛΗΣ
ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΥΡΙΝΟΣ ΚΟΣΜΟΣ
